- A+
如何理解平直时空中的匀加速参考系？怎样将经典意义下的匀加速运动推广至狭义相对论？Rindler坐标是如何推导的？施瓦西度规如何描述地球表面附近的匀加速运动？在地球表面处的加速参考系中看到的闵氏时空与施瓦西度规是否一致？它们在测地线上的表现是否相同？5月25日12时，《张朝阳的物理课》第二百四十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了施瓦西时空，并展开其在地球表面的近似，引出匀加速运动的几何图像。随后从洛伦兹变换的角度推导出Rindler坐标，重写了闵氏时空的线元在加速参考系中的形式。最后从测地线的角度出发，将施瓦西时空在地球表面处的例子加速度与Rindler时空中粒子的加速度进行了比较，从而引出了爱因斯坦提出等效原理的深刻动机。
（张朝阳推导地球表面处的施瓦西度规）
匀加速运动参考系与Rindler坐标
在狭义相对论中，咱们通常研究的是惯性参考系之间的洛伦兹变换。然而，现实生活中非惯性系的情形比比皆是，例如当您乘坐公交车，司机踩下油门实行加速时，您所处的就是一个非惯性参考系。这自然就引出来一个难点：在一个匀加速的非惯性参考系中，观察到的闵氏时空呈现出怎样的结构？这个难点早在爱因斯坦提出狭义相对论之后便引起了他的关注。他分别在1907年和1912年发表了两篇德语论文，对非惯性系中的物理进行了深入思考。正是这种对非惯性系的研究，促使爱因斯坦提出了“等效原理”的概念，为广义相对论的建立奠定了基础。
Rindler时空正是描述匀加速参考系中所观测到的平直时空的一种形式。咱们将通过比较Rindler时空的线元与描述地球引力场的施瓦西度规，在地球表面附近这一局域区域的测地线运动，讲解两者在加速度层面上是完全一致的，从而讲解等效原理的核心思想：在局域范围内，引力与参考系的加速运动是无法区分的。
为形象讲解这一点，设想如下图所示的情景：一辆汽车沿直线路面做匀加速运动，其速度依次从v1增至v2、v3…… 一直到接近于光速，将该加速车作为参考系，记为 Sτ。同时，在另一条车道上有无数的辆汽车以恒定速度行驶，对应惯性参考系S1、S2、S3……，其对应的速度为v1、v2、v3……。随着加速车不断提速，它会依次超过这些匀速车辆。尽管如此，在每一瞬间，总有一辆匀速车与加速车具有相同速度，两者瞬时静止。因此，能够将加速运动视为一系列瞬时共动惯性系的拼接。设加速车自身的时间坐标为τ，空间坐标为x，而地面参考系的坐标为 Y=(T,X)。Y的坐标微元可写为：
（张朝阳介绍加速参考系与惯性参考系的物理图像）
利用上一节课讲到的洛伦兹变换与伪转动的知识，咱们知道任意速度v或β均可通过快度θ来表达，其中：
在加速参考系某一时刻τ，其与当前速度相同的惯性参考系相对地面以速度β运动，因此从这两个参考系看地面参考系的速度为-β。由于加速参考系看自己就是瞬时静止的，因此有dx=0，且其经历的时间等于加速系自身的原时dτ。此时，洛伦兹变换表达为：
其中ϕ=−θ，是与θ相差一个负号的快度，这是缘于从加速参考系看地面参考系是沿着负方向运动的。由此可得三者之间的关系：
随着时间的推移，匀加速运动意味着物体的速度在不断变化，对应的快度ϕ也不再是常数，而是一个随时间演化的函数。这正体现了非惯性运动的本质特征。
在当前的系统中，咱们唯一有的参数就是加速度。然而，如何将这个加速度合理地引入到理论中，是咱们需要处理的难点。换句话说，咱们要思考：如何将牛顿力学中“匀加速运动”的概念自然地推广到狭义相对论的框架下？为此，咱们先回顾一个更为熟悉的经典例子——二维欧几里得空间中的匀速圆周运动。在牛顿力学中，设一个质点沿圆周做匀速运动，其位置矢量记为r，那么它的切向微元dr是一个一阶张量，意味着该几何对象本身在不同坐标系下保持不变，而它的分量会随着坐标系的变换而协变。由此定义的速度v=dr/dt和加速度a=dv/dt也都是一阶张量。在匀速圆周运动的情形下，加速度的表达为：
其中最后的方向矢量是指向圆心的单位向量，而速度的大小由角速度ω与半径r的乘积给出：
由于匀速圆周运动中速度大小保持不变，加速度的大小（或模方）也是一个常数：
（张朝阳介绍欧氏空间中的转动）
咱们将上述匀速圆周运动中的转动情形类比推广到狭义相对论中的“伪转动”情形。缘于这本质上这两种都是转动，只是时空的几何背景不同而已。在伪转动的情况下，一个以快度ϕ运动的粒子，其四维速度为：
对应的四维加速度为：
咱们计算四维加速度的模方
其中这里的g就是闵氏时空的度规
（张朝阳推广欧氏空间匀速圆周运动转动至闵氏时空的匀加速运动）
这一结果显示，四维加速度的模方与快度随原时的变化率的平方完全相等。类比于牛顿力学中匀速圆周运动中加速度大小恒定的情形，咱们也希望匀加速参考系中的四维加速度模为常数。因此，若将加速度大小设为α，有
由此得到
其中咱们已将积分常数取为零。将这个结果代入之前的洛伦兹变换表达式，可得：
对上述两式进行积分，且令积分常数为零，得到：
从而导出世界线的轨迹方程：
这讲解，在地面参考系中，匀加速参考系中静止点的世界线是一条双曲线，其与X轴的交点到原点的距离为1/α。这一双曲线形状正是匀加速运动的几何特征，体现了其“伪转动”的性质。
（张朝阳介绍Rindler时空的几何性质）
Rindler时空与测地线分析
为了构建完整的Rindler坐标系，咱们希望不仅描述某一个特定加速度的双曲线路径，而是将整个Rindler区域（这里指闵氏时空中的右侧区域）全部覆盖。为此，咱们引入一个新的空间坐标x，用以区分不同加速度的双曲线。上面咱们得到了特定匀加速粒子的世界线：
其对应的双曲线为：
如果咱们将该双曲线的“距离” 1/α替换为一个连续的变量x，并保留双曲函数中的加速度大小α不变，那么就能够将这一族的双曲线参数化为一个坐标系。此时设加速参考系的原时τ改为坐标t，得到推广形式：
这种构造模式意味着每一个固定的x对应一个匀加速的观察者。不同的加速度轨迹对应不同的x值，这些双曲线共同填满了闵氏时空的右侧区域。如上图所示。
咱们能够将前面推导出的坐标变换推广至整个线元，从而写出匀加速参考系（即Rindler坐标系）下的时空度规。将变换
代入闵氏时空中的线元中
XM外汇开户
得到
这就是Rindler坐标下的闵氏时空线元。能够看出，时间方向上的度规系数不再是常数，而是依赖于空间坐标x的函数，这是咱们在狭义相对论中首次遇到的度规系数随位置变化的情形。
为了便于理解加速度与空间坐标的关系，咱们进一步进行坐标变换：
即有
将其代入线元，得到：
接下来，咱们恢复国际单位制中的光速常数c，令
此时，若咱们取加速度α为地球表面上的重力加速度 α=g=9.8 m/s^2，而y的量级在
那么
这意味着时间分量前的度规系数非常接近于-1，咱们能够对其做泰勒展开，得到近似的线元：
（张朝阳推导远处下Rindler时空的线元）
接着分析Rindler时空中的测地线。测地线方程为：
在非相对论极限下，粒子速度远小于光速，能够近似取：
于是三维空间中的加速度表达为：
由于粒子只沿y方向运动，只需考虑克氏符的100分量，即：
这个结果讲解，在Rindler时空下，粒子沿y方向的加速度大小恒为α，与咱们引入的加速度定义完全一致。值得注意的是，变换
的常数项1/α，在国际单位制中写作：
意味着加速度为α的世界线，其到x=0的距离主要由第一项c^2/α贡献，量级在10^16米（α=9.8 m/s^2），而y的量级为仅为1米。因此，能够认为这种加速度是从极远处产生的匀加速运动，大小为α。
施瓦西度规在地表处产生的加速度与等效原理
咱们回顾施瓦西时空的线元：
其中施瓦西半径为
而M是引力质量。在这里，咱们只关心粒子沿径向（即r方向）的运动，且只考虑地球表面附近的区域，因此能够忽略角向分量，将线元简化为：
为了考察地表附近的时空结构，咱们将径向坐标r写成地球半径R=6400km与微小的距离变化y之和：
将其代入度规系数中，得到
由于地球的施瓦西半径只有3mm，而地球半径R=6400km，两者相差超过六个数量级。因此第一项的常数修正rs/R极小，能够通过重新定义时间与径向坐标将其吸收，再保留到y的线性项，得到：
进一步注意到：
其中
就是地表的重力加速度。因此，线元能够写为：
此时度规分量就是
接下来，咱们分析粒子的测地线运动。在低速的情况下，四维速度和四维加速度近似为
于是三维空间中的加速度表达为：
由于粒子只有沿着径向方向运动，因此只会剩下y分量：
克氏符的表达式为：
咱们这里最后一步忽略掉了2gy，原因是它的量级为10^-16，与前面的1相比能够忽略。由此得到y方向的加速度为
上述表达式表示加速度为地表的重力加速度的反方向，代表吸引力，因此咱们重现了牛顿万有引力的结论。在地球产生的施瓦西时空的近地表区域中，线元近似为一个静态匀加速场，其产生的加速度大小与经典牛顿万有引力给出的结果一致。这表明，地球表面附近的引力场能够在局部视为一个等效的匀加速参考系。但这结果来自于纯几何的观点，这个加速度并非“施加”在粒子上的力，而是测地线在弯曲时空中的自然表现。
（张朝阳推导地球表面处的测地线）
咱们前面在两种不同的情形下计算了粒子的加速度：一个是在Rindler时空中，由加速参考系自然导出的加速度α；另一个是在地球表面附近的施瓦西时空中，由度规展开得到的加速度g。当咱们取
时，加速参考系与引力场在局域内的结构完全等效，它们的测地线行为无法区分。换言之，位于局域一点的观测者，无法通过物理实验判断自己是处于一个匀加速的非惯性系中，还是处于一个均匀引力场中。
这正是爱因斯坦等效原理的表达：在时空一点上，引力效应与非惯性运动是等价的。这一原理不仅揭示了惯性力与引力之间的深刻联系，也为广义相对论的建立传递了理论的出发点。但需要强调的是，等效原理的适用范围仅限于“局域”。一旦考虑更大范围内的时空结构，就会出现曲率效应（潮汐力），这些效应能够揭示引力场的几何本质，从而使咱们得以区分加速度的来源是几何的（真实引力弯曲）还是运动学的（加速参考系）。
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友能够在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还能够在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细资料。返回搜狐，查看更多
