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然而，
如何理解张量的缩并？又如何从能动张量守恒推导出爱因斯坦张量？比安基恒等式究竟意味着什么？8月10日12时，《张朝阳的物理课》第二百五十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，在回顾黎曼曲率张量的缩并后，进一步从矢量微积分的角度探讨了点乘与缩并的联系，并最终借助比安基恒等式，从黎曼曲率张量出发推导出爱因斯坦张量。
XM外汇资讯：
（张朝阳解释矢量微积分观点下的缩并）
张量的缩并
很多人不知道，
在狭义相对论中，咱们通常研究惯性参考系之间的变换；从微分几何的角度看，狭义相对论在探讨平直时空中的物理规律。更一般的广义相对论则通过黎曼曲率张量刻画弯曲时空的性质，因此学习广义相对论离不开微分几何的基础，尤其是伪黎曼几何。若进一步考虑时空的动力学，则需将物质与时空曲率直接联系起来。然而，描述物质的能动张量是一个二阶张量，而黎曼曲率张量则是四阶张量。在假设时空的动力学由度规的二阶导数刻画、并且时空弯曲为曲率的线性组合，能够先通过缩并得到二阶的里奇张量和零阶的曲率标量，再将二者按特定组合构成二阶的爱因斯坦张量，这是考虑到四阶的黎曼曲率张量不能直接与二阶的能动张量直接对应。爱因斯坦张量与能动张量成正比，即得爱因斯坦场方程初步的形式。
据报道，
本次课程将详细推导这一过程，重点展示黎曼曲率张量的缩并方法，以及如何利用度规实现缩并。课程中所用的符号体系延续前几期的风格——这一体系的独特之处在于，它从矢量微积分的视角诠释微分几何，有助于更直观、飞快地把握其本质。这也是现代微分几何常用的视角。
然而，
此前，咱们用
据相关资料显示，
表示黎曼曲率张量，其具体计算公式为
XM外汇财经新闻：
在这种表达中，缩并完成能够便捷理解为令t=r。然而，如果仅以这种形式来认识张量，往往容易混淆张量本身与其分量（标量函数），也难以准确把握缩并的含义。更清晰的做法，是将张量用基底显式展开，用上基矢与下基矢的点乘来体现缩并，通过克罗内克δ函数加以阐述。接下来，咱们就按照这一套符号体系，重新理解黎曼曲率张量及其缩并。
更重要的是，
黎曼曲率张量是一个四阶张量，其(1,3)型表示为
然而，
其中
是张量的分量，即标量函数。这里的展开基矢
请记住，
分别为上基矢和下基矢，它们分别对应线性代数中的矢量与对偶矢量。它们的点乘关系为
XM外汇财经新闻：
这里的δ就是克罗内克δ函数，对应于单位矩阵。在咱们的符号体系中，缩并正是通过这种点乘实现的。
更重要的是，
例如，若一个二阶张量T与黎曼曲率张量R做点乘，可写作：
这里的点乘按照如下配对规则进行
XM外汇认为：
根据前述结论，上基矢与下基矢的点乘给出克罗内克δ函数，于是：
可见，二阶张量T与四阶张量R点乘，结果仍是一个二阶张量。当T取为度规张量g时，则进一步有
必须指出的是，
其中
XM外汇报导：
由此可见，传统指标记法中将t=r进行缩并，本质上就是让(1,3)型的黎曼曲率张量与(1,1)型的度规张量点乘，从而得到一个(0,2)型的二阶张量，此张量正是里奇张量，其分量为
据相关资料显示，
类似地，如果用(2,0)型度规g的与(1,3)型黎曼曲率张量R做点乘（缩并），则结果为一个(1,1)型的二阶张量：
XM外汇快讯：
这里的基矢配对路径为：
对于特殊形式的黎曼曲率张量，能够进一步化简。将黎曼曲率张量写成(0,4)型张量的形式，上式可改写为
利用黎曼曲率张量的反对称性，交换s、r与或者交换n、t都会引入一个负号，因此有
在这里，咱们完成了度规分量升降指标的性质，以及里奇张量的对称性。
（张朝阳介绍缩并的本质）
爱因斯坦张量与比安基恒等式
在构建场方程时，爱因斯坦希望找到这样一个形式：方程左边是由曲率构成的二阶张量，右边是描述物质分布的能动张量，即
XM外汇认为：
其中系数通过在弱场极限下与牛顿万有引力相容的要求所确定的。由于能量–动量守恒条件为
这你可能没想到，
方程左边也必须满足
同时，爱因斯坦希望方程左边只包含度规的二阶导数，因此它只能是黎曼曲率张量的线性组合。根据前面对缩并的分析，这种组合形式可写为
（张朝阳介绍推导爱因斯坦张量的思路）
在推导爱因斯坦张量时，咱们只需确定a和b的比值即可，因此可将其改写为
简而言之，
其中c_1是常数。由能量–动量守恒的要求，其散度为零：
写成分量形式为
简要回顾一下，
为了确定常数c_1，咱们需要用到黎曼曲率张量的一个不可忽视性质——比安基恒等式：
其中[ ]表示对这些指标做完全反对称化，例如
站在用户角度来说，
对于n个指标的反对称化，结果将包含n! 项。将比安基恒等式展开并利用黎曼曲率张量的对称性，可得
事实上，
比安基恒等式是5阶张量方程，而散度条件是1阶张量方程，因此要对比安基恒等式做2次缩并才能得到1阶张量形式的方程。首先令e=c缩并，得到
其实，
（张朝阳从比安基恒等式推导爱因斯坦张量）
XM外汇消息：
这是一个三阶的张量方程。接着用度规进行第二次缩并，缩并体现于指标a和d上，由此 XM外汇代理 可得到1阶的张量方程
将这一结果与散度条件对比即可得到
于是有
不可忽视的是，
这便是推导爱因斯坦场方程的第一步：确定爱因斯坦张量的形式。再结合弱引力极限下要求回到牛顿万有引力的条件，便可得到广义相对论的核心方程：
换个角度来看，
而这部分咱们将在以后涉及。
据相关资料显示，
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友能够在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还能够在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细资料。返回搜狐，查看更多
